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中3 数学「円周角の定理」の問題・一問一答
定期テストや高校入試によく出る内容を、オリジナルの問題で練習できます。下の問題は「答えと解説を見る」を押すと答えが出ます。
- 円周角と中心角
- 弧と円周角
- 円周角の定理の逆
- 円周角の利用
問題の例（16問）
基礎円Oの周上に3点A、B、Cがあり、∠AOB=136°である。点Cが弧ABのうち長いほうの弧の上にあるとき、∠ACBの大きさを求めなさい。
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答え：68°
∠ACBは弧ABに対する円周角なので、中心角∠AOBの半分で136°÷2=68°。点Cが長いほうの弧のどこにあっても同じ大きさになる。
基礎円周を10等分する点を、順にA、B、C、…、Jとする。∠ADFの大きさを求めなさい。
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答え：90°
1つ分の弧に対する中心角は360°÷10=36°、円周角は18°。∠ADFは弧5つ分に対する円周角なので90°。
基礎円に内接する四角形ABCDで、∠BAD=97°である。∠BCDの大きさを求めなさい。
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答え：83°
∠BADと∠BCDに対する中心角の和は360°なので、∠BAD+∠BCD=180°。∠BCD=180°−97°=83°。
標準円Oの周上に3点A、B、Cがあり、∠AOB=104°である。点Cが弧ABのうち短いほうの弧の上にあるとき、∠ACBの大きさを求めなさい。
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答え：128°
点Cに向かい合う弧ABは長いほうの弧で、その中心角は360°−104°=256°。∠ACBはその半分で128°。
標準四角形ABCDで、∠BAC=∠BDC=34°、∠ACB=62°である。∠ADBの大きさを求めなさい。
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答え：62°
A、Dは直線BCについて同じ側で∠BAC=∠BDCなので、4点A、B、C、Dは1つの円周上にある（円周角の定理の逆）。∠ADBと∠ACBは弧ABに対する円周角で62°。
標準円の2つの弦ABとCDが点Pで交わっている。PA=6cm、PB=5cm、PC=3cmのとき、線分PDの長さを求めなさい。
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答え：10cm
弧ADに対する円周角より∠PBD=∠PCA、対頂角より∠BPD=∠CPAなので△PAC∽△PDB。PA:PD=PC:PB から PA×PB=PC×PD、PD=10cm。
応用線分ABは円Oの直径で、点Cは円周上の点である。点Cにおける円Oの接線と、直線ABとの交点をPとすると、PはAの側にあった。∠ABC=28°のとき、∠APCの大きさを求めなさい。
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答え：34°
∠AOCは弧ACに対する中心角で ∠ABCの2倍の56°。接線は半径に垂直なので∠OCP=90°、△OCPで ∠APC=180°−90°−56°=34°。
応用円周上に4点A、B、C、Dがこの順にあり、弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=2:3:4:6である。弦ACと弦BDの交点をPとするとき、∠APBの大きさを求めなさい。
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答え：72°
弧の比から ∠ACB=24°、∠CBD=48°。△PBCの外角より ∠APB=24°+48°=72°。
基礎1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの（ ）倍である。（分数で答えなさい）
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答え：1/2
これを円周角の定理という。逆に、中心角は円周角の2倍になる。
基礎半円の弧（直径に対する弧）に対する円周角の大きさは（ ）°である。
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答え：90°
半円の弧に対する中心角は180°なので、円周角はその半分の90°。直径を見たら直角を探すのが定石。
基礎1つの円で、長さの等しい弧に対する円周角の大きさは（ ）。
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答え：等しい
等しい弧には等しい中心角が対応し、円周角はその半分なので等しくなる。逆に、等しい円周角に対する弧も等しい。
基礎1つの円で、弧の長さは、その弧に対する円周角の大きさに（ ）する。
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答え：比例
弧の長さが2倍、3倍…になると、円周角も2倍、3倍…になる。弧の比から角の比が求められる。
基礎2点P、Qが直線ABについて同じ側にあり、∠APB=∠AQBならば、4点A、B、P、Qは（ ）つの円周上にある。
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答え：1
円周角の定理の逆。P、Qが直線ABについて反対側にある場合は、この形では使えないことに注意。
基礎∠APB=90°となる点Pは、線分ABを（ ）とする円の周上にある。
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答え：直径
半円の弧に対する円周角が90°であることの逆。直角が2つ見えたら、それを含む円を考えるとよい。
基礎円の接線は、その接点を通る半径に（ ）である。
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答え：垂直
接線と半径のつくる角は90°。接線が出てきたら、中心と接点を結んで直角をつくるのが基本。
基礎円に内接する四角形では、向かい合う角の大きさの和は（ ）°である。
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答え：180°
向かい合う2つの角に対する中心角の和が360°なので、円周角の和は180°になる。
GoRoute+ では、この単元の基礎・標準・応用の問題を解くと、まちがえた問題が「間違いノート」に残り、テストの日から逆算した毎日の学習ルートに組み込まれます。
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