← 「三平方の定理」の要点まとめと問題

中3 数学「三平方の定理」無料学習プリント（答えつき）

GoRoute+（ゴールートプラス） ・ 基礎10問＋標準10問 ・ 答えと解説は最後のページ

学年・組　　　　名前　　　　　　　　　　　　　点
  1. ABCabc
    図の直角三角形ABC（∠B＝90°）で、3辺の長さを a、b、c とする。三平方の定理を正しく表している式を選びなさい。
    ア a²＋b²＝c²　イ a²＋c²＝b²　ウ b²＋c²＝a²　エ a＋c＝b
  2. CBAx cm5cm12cm
    図の直角三角形で、x の値を求めなさい。
  3. CBA10cm6cmx cm
    図の直角三角形で、直角をはさむ辺の長さ x を求めなさい。
  4. 直角をはさむ2辺の長さが 2 cm と 3 cm の直角三角形の、斜辺の長さを求めなさい。
  5. 斜辺の長さが 9 cm、他の1辺の長さが 6 cm の直角三角形で、残りの辺の長さを求めなさい。
  6. 直角をはさむ2辺の長さが √3 cm と √6 cm の直角三角形の、斜辺の長さを求めなさい。
  7. 次の長さを3辺とする三角形のうち、直角三角形であるものを選びなさい。
    ア 4cm, 5cm, 6cm　イ 6cm, 7cm, 9cm　ウ 2cm, 3cm, 4cm　エ 5cm, 12cm, 13cm
  8. △ABCで、AB＝8 cm、BC＝17 cm、CA＝15 cm である。この三角形はどの角が直角の直角三角形ですか。
  9. △ABCで、AB＝√7 cm、BC＝3 cm、CA＝4 cm である。この三角形はどの角が直角の直角三角形ですか。
  10. ababc
    図は、直角をはさむ2辺が a、b、斜辺が c の直角三角形を4つ並べて、1辺が a＋b の大きな正方形をつくったものである。大きな正方形の面積は（　）と表せる。a、b を使った式で答えなさい。
  11. 3辺の長さが 6 cm、8 cm、x cm の三角形が直角三角形になるとき、x の値をすべて求めなさい。
  12. 斜辺の長さが 13 cm、他の1辺の長さが 5 cm の直角三角形の面積を求めなさい。
  13. 斜辺の長さが 9 cm、他の1辺の長さが 3 cm の直角三角形の面積を求めなさい。
  14. 次の長さを3辺とする三角形のうち、直角三角形であるものを選びなさい。
    ア 2cm, 3cm, 4cm　イ √2cm, √3cm, √5cm　ウ 3cm, 4cm, 6cm　エ 1cm, √2cm, 2cm
  15. ∠C＝90°の直角三角形ABCで、BC：CA＝3：4、AB＝20 cm のとき、辺BCの長さを求めなさい。
  16. 1辺が 6 cm の正三角形の面積を求めなさい。
  17. 高さが 6 cm の正三角形の、1辺の長さを求めなさい。
  18. 30°、60°、90° の直角三角形で、60° の角に向かい合う辺の長さが 9 cm のとき、斜辺の長さを求めなさい。
  19. 斜辺の長さが 10 cm の直角二等辺三角形の面積を求めなさい。
  20. ABC7cm4√2cm45°
    図の△ABCで、∠B＝45°、AB＝4√2 cm、BC＝7 cm である。辺ACの長さを求めなさい。
続きの問題（標準・応用）を GoRoute+ で解く

答えと解説

  1. イ 斜辺は直角の向かい側の辺 CA で、長さは b。直角をはさむ2辺 a、c の2乗の和が、斜辺 b の2乗に等しい。
  2. x=13 x²＝5²＋12²＝25＋144＝169、x＞0 なので x＝13。5：12：13 はよく出る整数の組。
  3. x=8 斜辺が 10 cm なので x²＋6²＝10²、x²＝64、x＝8。まず、どの辺が斜辺かを確かめる。
  4. √13cm 斜辺²＝2²＋3²＝13 なので斜辺は √13 cm。整数にならないときは根号のまま答える。
  5. 3√5cm 残りの辺²＝9²－6²＝81－36＝45。√45＝√(9×5)＝3√5 cm。
  6. 3cm (√3)²＋(√6)²＝3＋6＝9 なので斜辺は √9＝3 cm。
  7. エ 最も長い辺の2乗が、残りの2辺の2乗の和に等しいかを調べる（三平方の定理の逆）。5²＋12²＝169＝13²。
  8. ∠A 8²＋15²＝64＋225＝289＝17² なので、最も長い辺 BC が斜辺。斜辺 BC に向かい合う ∠A が直角。
  9. ∠B (√7)²＋3²＝7＋9＝16＝4² なので、最も長い辺 CA が斜辺。CA に向かい合う ∠B が直角。
  10. (a+b)² 1辺 a＋b の正方形なので面積は (a＋b)²。これが内側の正方形 c² と直角三角形4つ分の和に等しいことから、三平方の定理が導ける。
  11. x=10, 2√7 x が斜辺なら x²＝36＋64＝100 で x＝10。8 cm が斜辺なら x²＝64－36＝28 で x＝2√7。どの辺が斜辺かで場合分けする。
  12. 30cm² 残りの辺は √(13²－5²)＝12 cm。直角をはさむ2辺が 5 cm と 12 cm なので、面積は 5×12÷2＝30 cm²。
  13. 9√2cm² 残りの辺は √(81－9)＝√72＝6√2 cm。面積は 3×6√2÷2＝9√2 cm²。
  14. イ (√2)²＋(√3)²＝2＋3＝5＝(√5)²。エは 1＋2＝3 で 2²＝4 にならない。根号のある辺も2乗して比べる。
  15. 12cm BC＝3k、CA＝4k とおくと (3k)²＋(4k)²＝20²、25k²＝400、k＝4。BC＝12 cm。
  16. 9√3cm² 高さは 3√3 cm なので、面積は 6×3√3÷2＝9√3 cm²。
  17. 4√3cm 1辺：高さ＝2：√3 なので、1辺＝6×2/√3＝12/√3＝4√3 cm。
  18. 6√3cm その辺：斜辺＝√3：2 なので、斜辺＝9×2/√3＝18/√3＝6√3 cm。
  19. 25cm² 直角をはさむ辺は 10/√2＝5√2 cm。面積は 5√2×5√2÷2＝50÷2＝25 cm²。
  20. 5cm Aから BC に垂線をひくと直角二等辺三角形ができ、高さ 4 cm、BH＝4 cm。HC＝3 cm なので AC＝√(16＋9)＝5 cm。

© GoRoute+ ・ 家庭・学校での学習用に印刷してお使いください。 中学生の数学ドリル