中3 数学「円周角の定理」無料学習プリント（答えつき）

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図で、点Oは円の中心で、∠AOB=110° である。∠x（∠ACB）の大きさを求めなさい。
図で、点Oは円の中心で、∠ACB=38° である。∠x（∠AOB）の大きさを求めなさい。
図で、4点A、B、C、Dは円周上にあり、∠ACB=43° である。∠x（∠ADB）の大きさを求めなさい。
図で、線分ABは円Oの直径で、∠ABC=34° である。∠x（∠CAB）の大きさを求めなさい。
1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの（　）である。
図で、点Oは円の中心である。弧AB（点Cをふくまない弧）に対する円周角はどれですか。
ア ∠AOB　イ ∠OAB　ウ ∠ACB　エ ∠CAB
円周角について正しいものを選びなさい。
ア 1つの弧に対する円周角は、点の位置によって大きさが変わる　イ円周角の大きさは、同じ弧に対する中心角の2倍である　ウ半円の弧に対する円周角は 90° である　エ円周角は、いつも 90° より小さい
図で、点Oは円の中心で、∠AOB=124° である。∠x（∠OAB）の大きさを求めなさい。
ある弧に対する円周角が 26° のとき、その弧に対する中心角の大きさを求めなさい。
図で、点Oは円の中心で、△ABCの頂点は円周上にある。∠BOC=140° のとき、∠x（∠BAC）の大きさを求めなさい。
図で、点Oは円の中心で、∠AOB=136°、点Cは短いほうの弧AB上にある。∠x（∠ACB）の大きさを求めなさい。
図で、点Oは円の中心で、△ABCの頂点は円周上にある。∠OBC=28° のとき、∠x（∠BAC）の大きさを求めなさい。
図で、線分ABは円Oの直径で、∠CAB=24° である。∠x（∠ADC）の大きさを求めなさい。
図で、点Oは円の中心で、点Cは短いほうの弧AB上にあり、∠ACB=116° である。∠x（∠AOB、180° より小さいほうの角）の大きさを求めなさい。
図で、点Oは円の中心で、∠OAB=25° である。∠x（∠ACB）の大きさを求めなさい。
図で、線分BDは円Oの直径で、∠ACB=52° である。∠x（∠ABD）の大きさを求めなさい。
図で、△ABCの頂点は円周上にあり、弧AB、弧BC、弧CA（三角形の残りの頂点をふくまない弧）の長さの比は 2:3:4 である。∠x（∠ABC）の大きさを求めなさい。
半径 6cm の円で、弧ABに対する円周角が 30° である。弧ABの長さを求めなさい。ただし、円周率は π とする。
図で、弧ABと弧BCの長さは等しく（印の部分）、∠ADB=28° である。∠x（∠ABC）の大きさを求めなさい。
弧ABの長さが円周の 3/10 であるとき、弧ABに対する円周角の大きさを求めなさい。

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答えと解説

55° ∠x は弧ABに対する円周角、∠AOB=110° はその弧に対する中心角。円周角は中心角の半分なので 110°÷2=55°。
76° 中心角は同じ弧に対する円周角の2倍。38°×2=76°。
43° ∠ACB と ∠ADB はどちらも弧ABに対する円周角。1つの弧に対する円周角は、点の位置に関係なくすべて等しい。
56° 半円の弧に対する円周角なので ∠ACB=90°。三角形の内角の和から 180°-90°-34°=56°。
半分 ∠APB=1/2∠AOB。逆に、中心角は円周角の2倍になる。
ウ円周角は、円周上の点Cから弧の両端A、Bに引いた2本の弦がつくる角 ∠ACB。∠AOB は中心角、∠CAB は弧BCに対する円周角。
ウ直径の両端と円周上の点を結ぶと、中心角 180° の半分で 90° になる。円周角は中心角の半分で、点の位置によらず一定。弧が半円より大きければ円周角は 90° より大きくなる。
28° OA=OB（半径）なので △OAB は二等辺三角形。底角は (180°-124°)÷2=28°。円の問題では半径が等しいことをよく使う。
52° 中心角＝円周角×2＝52°。
70° ∠BAC は弧BCに対する円周角、∠BOC はその中心角。140°÷2=70°。三角形の頂点が円周上にあるときも同じように考える。
112° ∠ACB は、点Cをふくまない大きいほうの弧ABに対する円周角。その中心角は 360°-136°=224° なので、224°÷2=112°。
62° OB=OC なので ∠OCB=28°、∠BOC=180°-28°×2=124°。∠x はその半分で 62°。
66° BとCを結ぶと ∠ACB=90°（直径に対する円周角）で、∠ABC=180°-90°-24°=66°。∠x と ∠ABC は弧ACに対する円周角なので等しい。
128° ∠ACB=116° は大きいほうの弧ABに対する円周角なので、その中心角は 232°。∠x=360°-232°=128°。
65° OA=OB なので ∠OBA=25°、∠AOB=180°-50°=130°。∠x はその半分で 65°。
38° ∠ADB=∠ACB=52°（弧ABに対する円周角）。BD は直径なので ∠BAD=90°。△ABD で 180°-90°-52°=38°。
80° 3つの弧の円周角の和は三角形の内角の和 180°。∠x は弧CA（4つ分）に対する円周角なので 180°×4/9=80°。
2πcm 中心角は 60° なので、弧AB=2π×6×60/360=2π cm。
124° ∠ACB=∠ADB=28°（弧ABに対する円周角）。弧AB=弧BC なので ∠BAC=∠ACB=28°。△ABC で 180°-28°×2=124°。
54° 中心角は 360°×3/10=108° で、円周角はその半分の 54°。